역행렬, Inverse Matrix, 라플라스 전개, Laplace Extension

역행렬은 Inverse Matrix라고 한다

전형적인 2x2 행렬은

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이런 식으로 구한다

 

고등학교 때 암기해라고 외우는 공식이다

 

그리고 밑에 분모는 특별하게 이름을 붙혀

Determinent라고 한다 (행렬식)

|A| = det(A)

모든 행렬이 역행렬이 있는 것은 아닌데

역행렬이 있는 행렬은

Invertable Matrix이고 determinent가 0이 아니며 = Non-Singular Matrix = Non-degenerate Matrix

반대로

Non-Invertable Matrix는 detrminent가 0이다 = SIngular Matrix = degenerate Matrix

 

또 추가적인 determinent의 성질로는

728x90

그러나 행렬은 2x2만 있나?

아닌 경우가 더 많을 것이다

 

그럼 한단계 나아가 3x3 행렬은 어떻게 구하는가?

역시나 공식화가 되어있다

더 길어졌지만 아직은 외울만하다

 

하지만 4x4? 아니면 그 이상의 크기의 행렬들은 어려워진다

 

이때 이용할 수 있는 것이

라플라스 전개 이다 (Laplace Extension)

 

알아보기전 알아야할 개념들이 몇개 있다

 

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Minors (소행렬)

 

Minor은 한 행렬의 원소의 위치를 i,j 라 했을때

그 원소가 해당하는 행과 열을 삭제한 행렬의 determinent이다

A라는 행렬 A_11의 Minor은 (A_11=4)

첫번째 행과 열을 삭제함으로

의 determinent인

2*2-0*0=4 가 된다

 

마찬가지로 A_23의 Minor은 다음과 같다 (A_23 = 0)

Cofactors (여인수)

 

Cofactor은 Minor에 부호 변화를 가해주면 된다

부호 변화는 이렇게 정의 된다

즉 그 원소의 좌표 i, j 의 합이 짝수면 1, 홀수면 -1이다

 

그래서

4x4 행렬의 부호 변화는 다음과 같이 나타낼 수 있다

그렇게 Cofactor은

이다 (M_ij 는 Minor(A_ij))

 

EX)

다음 행렬의 Determinent를 구하여라

이 문제는 첫번째 열에 0이 가장 많음으로 계산하기 쉬워

A_11로 확장해서 전개하는것이 가장 효율적이다

공식을 대입 해도 되지만 차수가 커져도 전개 법만 알면

재귀적으로 풀면 되기에 공식을 외우는 것이 비효율적 이다

 

Cofactor Matrix (여인수 행렬)

행렬 A 의 여인수 행렬은 모든 원소들의 위치에 여인수가 그 원소 대신 있는 크기가 A와 같은 행렬이다

A의 determinent는 A의 원소와 그 원소의 Cofactor의 곱의 합이다

또

Cofactor Matrix의 Transpose는

 

Adjoint Matrix이다 (수반 행렬)

A의 Inverse는 이렇게 정의 되며

 

사실 처음 봤던

2x2 행렬의 행렬식도

위에 식과 같다

 

<인공지능 AI 윤리>

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[인공지능 윤리] Artificial Intelligence Ethics