String Matching Algorithms 문자열 매칭 알고리즘

 

문자열 처리는 컴퓨터 과학과 프로그래밍에서 매우 중요한 주제이다.

특히, 특정 패턴을 텍스트 내에서 찾는 'Exact String Matching' 문제는 자주 등장하고 많은 분야에 활용된다.

1. Exact String Matching
   
   • 목표: 텍스트 문자열 T 내에서 패턴 문자열 P의 모든 출현 위치를 찾는 것.
   • 예: T = "AGCTTGAGCTTGA", P = "GCTTGA"라면, P는 T에서 두 번 index 1, 7에서 나타난다
2. 부분 문자열 (Substring)  vs Subsequence 
   • 부분 문자열(Substring): 
     • 원 문자열의 연속된 부분.
     • S{i,j}=Si,S{i+1}...Sj
     • 예: S = "AGCTTGA"일 때, "GCT"는 부분 문자열.
   • 부분 수열(Subsequence):
     • 원 문자열에서 몇 개의 문자를 삭제하여 얻은 수열.
     • S{i,j}=SiS{i+1}...Sj
     • 예: S = "AGCTTGA"일 때, "ACT"와 "GCTT"는 부분 수열.
3. 접두사와 접미사
   • 접두사(Prefix):
     • 문자열의 시작부터 시작하는 부분 문자열.
     • 표기법: S{0,k}
     • 예: S = "AGCTTGA"일 때, "AGC"는 접두사.
   • 접미사(Suffix):
     • 문자열의 끝으로 끝나는 부분 문자열.
     • 표기법:S_{k,|S|} (|S|는 S의 길이)
     • 프로그래머들은 종종 0부터 시작하는 인덱스를 사용합니다.
     • 예: S = "AGCTTGA"일 때, "TGA"는 접미사.
4. 브루트-포스(Brute-Force) 알고리즘
   • 가장 단순한 접근법으로, 텍스트의 모든 위치에서 패턴과 일치하는지 확인.
   • 시간 복잡도: O(mn) (m: 패턴의 길이, n: 텍스트의 길이)
   • 문제점: 텍스트와 패턴이 길어질수록 실행 시간이 급격히 증가.

브루트-포스 알고리즘은 작은 문자열에는 충분하지만, 큰 데이터셋에는 비효율적이다. <위와 같은 경우>

이러한 한계를 극복하기 위해, 더 효율적인 알고리즘들이 개발되었다.

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오토마타 Automata 활용

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오토마타 같은 상태 머신을 활용해 스트링을 활용 하면 조금 더 개선된

효율적인 검사를 할 수 있다

알파벳이 Σ 이면 -> 등장하는 모든 char의 종류, 복잡도는

그래서 더 효율적인 알고리즘들이 등장하는데

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Rabin-Karp Algorithm

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문자열 값들을 숫자값으로 변환시켜 문자열의 비교가 아닌 숫자들의 (보통 정수) 비교로 문제를 취급하는 방식이다

 

ex)

Σ={a,b,c,d,e}

|Σ|=5

so a,b,c,d,e are given values 0,1,2,3,4

and “cad” would be 28=25^2+05+35^0

 

하지만 string 값들을 정수형으로 변환하는데 상당한 과부하가 있다 Overhead!

O(m)의 시간정도 걸리고

패턴 P를 비교하는데에는 O(|T|m) 정도 걸린다

basicRabinKarp(A, P, d, q){
	p=0, a1=0;
	for i=0 to m{
		p=d*p+p[i];
		a1=d*a1+A[i];
		}
	for i=0 to n-m+1{
		if i!=1 :
			ai=d(a{i-1} - d^{m-1}*A[i-1])+A[i+m-1];
		if p==ai:
			MATCHED AT A[i];
			}
		}

 

위 Pseudocode를 살펴보면

A[i-1]: 창문 (widow)를 빠져나가는 character에 값을 뺴준다->이전에 가장 앞 문자

->d를 곱해주면 window를 오른쪽으로 한칸 당겨준다

A[i+m-1]: 새로 window에 들어오는 값들을 더해준다

 

하지만 여기서 알파벳  Σ 이 커지거나 패턴P의길이가 커지면

d가 exponentioal 하게 증가하기 떄문에 Overflow를 초래하기 쉽상이다

 

그래서 값을 1:1로 맞는지 확인하는 방법 말고

적당히 큰 소수 q값의 modulus 값을 비교하는 방법을 택한다

-> modulus가 같은 값들은 여러개 있을 수 있음

->그래서 modulus 값이 같은지 먼저 확인하고 그 후 string이 일치하는지 한번더 확인해줘야한

basicRabinKarp(A, P, d, q){
	p=0, a1=0;
	for i=0 to m{
		p=d*p+p[i] mod q;
		a1=d*a1+A[i] mod q;
		}
	for i=0 to n-m+1{
		if i!=1 :
			ai=d(a{i-1} - d^{m-1}*A[i-1])+A[i+m-1] mod q;
		if p==ai:
			if P[1:m]==A[i:i+m+1]:
				MATCHED AT A[i];
			}
		}

SMALL

KMP Knuth-Morris-Pratt Algorithm

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위에서 살펴본 오토마타 접근법과 매우 비슷하다

패턴 P내에서 어디서 틀렸는지에 따라서

바로 한칸 당겨서 비교하면 비효율적이니 비교할 필요 없는 곳들을 생략해

SP[]에 어디부터 다음 비교할지 저장해두는 방법을 활용한다

 

EX)

Text: ABABDABACDABABCABAB Pattern: ABABCABAB

Step 1: Preprocess the pattern to create the LPS array.

Pattern: A B A B C A B A B

LPS Array: 0 0 1 2 0 1 2 3 4

• lps[0] = 0 (no proper prefix which is suffix)
• lps[1] = 0 (no proper prefix which is suffix)
• lps[2] = 1 (A)
• lps[3] = 2 (AB)
• lps[4] = 0 (no proper prefix which is suffix)
• lps[5] = 1 (A)
• lps[6] = 2 (AB)
• lps[7] = 3 (ABA)
• lps[8] = 4 (ABAB)

 

SP[ ] 값 구하기

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패턴 P 내에서 Prefix와 최대한 반복되는 부분을 찾아 기록하는게 포인트인데

위와 같이 초반부에는 보이지 않는다

계속 쭉 비교해본다

그러나 이렇게 6번째 인덱스에서 비교하면 앞에 "ab"까지는 같기때문에 여기서 틀리면

P의 Prefix "ab"와 같기에 다시처음부터 비교하는게 아닌

1번 index부터 확인하는게 효율적이다

그 후 이렇게 계속 비교해주면

불필요한 비교횟수를 줄여주면서 더 효율적인

알고리즘을 구성하게 된다!!

 

Boyer-Moore Algorithm

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이 알고리즘은 조금 다르게

패턴 P를 앞으로 부터 아닌 뒤 문자들 부터 비교를 한다 (오른쪽)

 

 

문자열 매칭 문제에서는 또 활용할 수 있는 중요한 개념이 Suffix Array 이다

 

Suffix Array

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S=banana

S 가 위 처럼 주워졌다 하자

0: banana

1: anana

2: nana

3: ana

4: na

5: a

 

그럼 suffix들의 index를 위와 같이 줄 수 있다

이제 이것을 사전순 (lexicographically) 으로 정렬 할 수 있는데

그러면 아래처럼 정렬되는데

 

5: a

3: ana

1: anana

0: banana

4: na

2: nana

 

그래서 S의 suffix array는 아래와 같다

S_sa=[5, 3, 1, 0, 4, 2]

 

특별한 알고리즘 없이 Naive하게 정렬해서 Suffix Array를 구축한다면 

sort→O(nlogn)→comparison for each step →O(n)

 

그래서 새로운 알고리즘으로 구축하는데

 

Manber-Myers Algorithm

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• 

• Manber-Myers 알고리즘의 기본 아이디어
  • 기존의 접미사 배열 구축 알고리즘들은 O(n^2*log n) 또는 O(n*log^2 n) 시간이 걸린다.
  • Manber-Myers 알고리즘은 이를 O(n*log n)으로 개선했습니다.
  • 핵심 아이디어: 접미사들을 2의 거듭제곱 길이씩 증가하면서 순차적으로 정렬한다.
• 알고리즘의 주요 구성 요소
  • 배열 P: P[k][i]는 i번째 위치에서 시작하는 접미사의 첫 2^k문자를 기준으로 한 순위를 저장한다
  • 초기화: P[0][i]는 첫 문자(또는 고정된 초기 순위 방법)를 기준으로 순위를 매긴다. 주로 ASCII 값을 사용
• 예제를 통한 알고리즘 이해
  • 문자열 S = "banana"로 예시
  a. k = 0 (첫 1개 문자 기준):
  • 각 위치의 문자: 'b', 'a', 'n', 'a', 'n', 'a'
  • 순위 부여: P[0] = [1, 0, 2, 0, 2, 0]
  b. k = 1 (첫 2개 문자 기준):
  • 페어 구성: [(1,0), (0,2), (2,0), (0,2), (2,0), (0,-1)]
    • 예: (1,0)은 'ba'를 나타내며, 1은 'b'의 순위, 0은 'a'의 순위이다
  • 페어 정렬: [(0,2), (0,2), (0,-1), (1,0), (2,0), (2,0)]
  • 새 순위 부여: P[1] = [3, 0, 4, 1, 5, 2]
  c. k = 2 (첫 4개 문자 기준):
  • 페어 구성: [(3,4), (0,5), (4,2), (1,-1), (5,-1), (2,-1)]
    • 예: (3,4)는 'bana'를 나타내며, 3은 'ba'의 순위, 4는 'na'의 순위이다
  • 페어 정렬: [(0,5), (1,-1), (2,-1), (3,4), (4,2), (5,-1)]
  • 새 순위 부여: P[2] = [5, 0, 3, 1, 4, 2]
  d. k = 3 (필요한 경우):
  • 2^k가 문자열 전체를 커버할 때까지 과정을 반복
• 알고리즘의 장점
  • 시간 복잡도: O(n*log n). 각 단계에서 O(n) 시간이 소요되며, 최대 log n단계가 필요하다
  • 공간 복잡도: O(n). 추가 메모리 공간이 크게 필요하지 않는다.
  • 안정성: 정렬 과정이 안정적이어서, 같은 순위의 접미사들의 상대적 순서가 유지된다

Suffix Tree

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Tree 구조의 Suffix Tree인데 아래 조건들을 만족한다

1. 각 internal노드들은 자식이 최소 2개있다

2. n개의 leaf node들이 있다

 

ex)

S=”ATCACATCATCA”

1. first find the longest common prefix of all the suffixes→here TCA
2. then split into “A”, “CA”, and “TCA”
3. repeat!

그래서 문자열T를 위한 Suffix tree는 O(n) 시간에 구축 가능하고 패턴P를 search하는데 O(m)이 걸린다

 

https://tonnykang.tistory.com/227

A* 알고리즘 (Dijkstra algorithm)